cos(4x)=cos2(2x)-sin2(2x);
sin(2x)=2sin(x)cos(x), so sin2(2x)=4sin2(x)cos2(x);
cos(2x)=cos2(x)-sin2(x), so cos2(2x)=(cos2(x)-sin2(x))2;
cos(4x)=(cos2(x)-sin2(x))2-4sin2(x)cos2(x),
cos(4x)=cos4(x)-2sin2(x)cos2(x)+sin4(x)-4sin2(x)cos2(x),
cos(4x)=cos4(x)-6sin2(x)cos2(x)+sin4(x) QED
cos4(x)=cos(4x)+6sin2(x)cos2(x)-sin4(x) (from the line above)
cos4(x)=cos(4x)+6(1-cos2(x))cos2(x)-(1-cos2(x))2,
cos4(x)=cos(4x)+6cos2(x)-6cos4(x)-1+2cos2(x)-cos4(x),
8cos4(x)=cos(4x)+8cos2(x)-1=cos(4x) +(8cos2(x)-4)+3,
8cos4(x)=cos(4x)+4(2cos2(x)-1)+3=cos(4x)+4cos(2x)+3,
cos4(x)=⅛(3+4cos(2x)+cos(4x)) QED
sec2(x/2)=1/cos2(x/2); cos(x)=2cos2(x/2)-1, cos2(x/2)=½(1+cos(x)),
sec2(x/2)=2/(1+cos(x)).
Multiply top and bottom by sec(x): sec2(x/2)=2sec(x)/(sec(x)+1) QED