for x^2+2x+5 to be a factor of x^4+px^2+q,the value of p and q will be?

Question

for x^2+2x=5 to be factor of x^4+px^2+q ,the value of p and q be.

Answer 1

Using algebraic long division we get:

                x²  -2x                              +p-1

x²+2x+5 ) x⁴        +px²                            +q

                x⁴+2x³+5x² 

                    -2x³+(p-5)x² 

                    -2x³     -4x²          -10x

                             (p-1)x²      +10x + q

                             (p-1)x²+2(p-1)x+5(p-1)

                                             0                  

Because the remainder has to be zero, 10-2(p-1)=0 and q-5(p-1)=0.

Therefore 12-2p=0, making p=6; and q=5(p-1)=25.

So x⁴+px²+q=x⁴+6x²+25=(x²+2x+5)(x²-2x+5)=x⁴-2x³+5x²+2x³-4x²+10x+5x²-10x+25.