if (2sinθ)/(1+cosθ+sinθ)=y, then prove that (1-cosθ+sinθ)/(1+sinθ) =y
From the left hand equation we have
(2sinθ)/(1+cosθ+sinθ) = expanding the numerator
{(1 + cosθ + sinθ) – (1 + cosθ – sinθ)} / (1+cosθ+sinθ) =
1 – (1 + cosθ – sinθ) / (1+cosθ+sinθ) =
1 – {(1 + cosθ – sinθ)( 1+sinθ) } / {(1+cosθ+sinθ)( 1+sinθ) } =
1 – {1 + cosθ – sinθ + sinθ + sinθ. cosθ – sin^2θ } / {(1+cosθ+sinθ)( 1+sinθ) } =
1 – {1 – sin^2θ + cosθ + sinθ. cosθ } / {(1+cosθ+sinθ)( 1+sinθ) } =
1 – {cos^2θ + cosθ + sinθ. cosθ } / {(1+cosθ+sinθ)( 1+sinθ) } =
1 – cosθ{cosθ + 1 + sinθ} / {(1+cosθ+sinθ)( 1+sinθ) } =
1 – cosθ / ( 1+sinθ)} =
(1 + sinθ – cosθ) / ( 1+sinθ)} =
(1– cosθ + sinθ) / ( 1+sinθ)} = right hand equation