Split the expression into partial fractions:
A/(x-a)+B/(x-b)+C/(x-c)=(x²+px+q)/((x-a)(x-b)(x-c)),
So A(x²-(b+c)x+bc)+B(x²-(a+c)x+ac)+C(x²-(a+b)x+ab)=x²+px+q.
A, B and C are constants.
Therefore, equating coefficients:
x²: A+B+C=1 so C=1-(A+B)
x: Ab+Ac+Ba+Bc+Ca+Cb=-p=Ab+Ac+Ba+Bc+(1-A-B)(a+b)=
Ab+Ac+Ba+Bc+a+b-Aa-Ab-Ba-Bb=Ac+Bc-Aa-Bb+a+b
A(c-a)+B(c-b)+a+b=-p so B(c-b)=-p-a-b-A(c-a)
So B(b-c)=p+a+b+A(c-a).
constant: Abc+Bac+Cab=q=Abc+Bac+ab(1-A-B)=
Abc+Bac+ab-Aab-Bab.
Ab(c-a)+Ba(c-b)+ab=q=Ab(c-a)-a(p+a+b+A(c-a))+ab=
Ab(c-a)-ap-a²-ab-Aa(c-a)+ab=Ab(c-a)-ap-a²-Aa(c-a).
A(c-a)(b-a)-a(a+p)=q
A=(q+a(p+a))/((c-a)(b-a)) or
A=(q+a(p+a))/((a-c)(a-b))
B(b-c)=p+a+b+(c-a)(q+a(p+a))/((c-a)(b-a))=
p+a+b+(q+a(p+a))/(b-a)=(pb+ab+b²-ap-a²-ab+q+ap+a²)/(b-a)
B(b-c)=(pb+b²+q)/(b-a) so B=(q+b(p+b))/((b-a)(b-c))
C=1-A-B.
A+B=((q+ap+a²)/(c-a)+(q+bp+b²)/(b-c))/(b-a)=
((b-c)(q+ap+a²)+(c-a)(q+bp+b²))/((c-a)(b-c)(b-a))=
(bq+abp+a²b-cq-acp-a²c+
cq+bcp+b²c-aq-abp-ab²)/((c-a)(b-c)(b-a))=
(bq+a²b-acp-a²c+bcp+b²c-aq-ab²)/((c-a)(b-c)(b-a)).
So C=1+(bq+a²b-acp-a²c+bcp+b²c-aq-ab²)/((c-a)(c-b)(b-a))=
((c-a)(c-b)(b-a)+(bq+a²b-acp-a²c+bcp+b²c-aq-ab²)/((c-a)(c-b)(b-a))=
(bc²-b²c+ab²-ac²+a²c-a²b+bq+a²b-acp-a²c+bcp+b²c-aq-ab²)/((c-a)(c-b)(b-a))=
(bc²-ac²+bq-acp+bcp-aq)/((c-a)(c-b)(b-a))=
(b-a)(q+c²+cp)/((c-a)(c-b)(b-a)).
C=(q+cp+c²)/((c-a)(c-b)).
Decomposition is therefore:
(q+a(p+a))/((a-c)(a-b)(x-a))+
(q+b(p+b))/((b-a)(b-c)(x-b))+
(q+c(p+c))/((c-a)(c-b)(x-c)).