cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)
cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)
cos(a+b)+cos(a-b)=2cos(a)cos(b)
Let X=a+b and Y=a-b, a=(X+Y)/2 and b=(X-Y)/2, so cos(X)+cos(Y)=2cos((X+Y)/2)cos((X-Y)/2).
If X+Y=180, then cos((X+Y)/2)=cos(90)=0, so cos(X)+cos(180-X)=0
(cos(1)+cos(179))+(cos(2)+cos(178))+...+(cos(89)+cos(91))+cos(90)+cos(180)=cos(180)=-1.