f(x)=x^5-3x^4-5x^3+4x-12

Question

Find all zeros of the function

Answer 1

I think you missed out the x² term: f(x)=x⁵-3x⁴-5x³+15x²+4x-12?

f(1)=1-3-5+15+4-12=20-20=0, so x=1 is a zero.

f(-1)=-1-3+5+15-4-12=20-20=0, so x=-1 is also a zero. This means that x²-1 is a factor of f(x).

Divide by x²-1:

          x³-3x²-4x+12                

x²-1 ) x⁵-3x⁴-5x³+15x²+4x-12

          x⁵        -x³

            -3x⁴ -4x³+15x²

            -3x⁴        +3x²

                   -4x³+12x²+4x

                   -4x³         +4x

                            12x²      -12

                            12x²      -12

                                     0

So the quintic reduces to a cubic: x³-3x²-4x+12=x(x²-4)-3(x²-4)=(x-3)(x-2)(x+2).

The five zeroes are: -2, -1, 1, 2, 3.