p(1)=1=1+a+b+c+d, so a+b+c+d=0.
p(2)=8=16+8a+4b+2c+d.
p(3)=27=81+27a+9b+3c+d.
p(4)=64=256+64a+16b+4c+d.
(A): p(2)=8=16+7a+3b+c
(B): p(3)-p(2): 19=65+19a+5b+c
(C): (B)-(A): 11=49+12a+2b, 12a+2b=-38, 6a+b=-19.
(D): p(4)-p(3): 37=175+37a+7b+c.
(E): (D)-(B): 18=110+18a+2b, 18a+2b=-92, 9a+b=-46.
(F): (E)-(C): 3a=-46+19=-27, a=-9.
b=-46-9a=-46+81=35.
c=-8-7a-3b=-8+63-105=-50.
d=-(a+b+c)=-(-9+35-50)=24.
Solution: (a,b,c,d)=(-9,35,-50,24) so p(x)=x^4-9x^3+35x^2-50x+24.
p(10)/2012=4024/2012=2.