For z(x,y), x(u,v), y(u,v) the following apply:
∂z/∂u=∂z/∂x.∂x/∂u+∂z/∂y.∂y/∂u,
∂z/∂v=∂z/∂x.∂x/∂v+∂z/∂y.∂y/∂v,
∂z/∂u-∂z/∂v=∂z/∂x.∂x/∂u+∂z/∂y.∂y/∂u-(∂z/∂x.∂x/∂v+∂z/∂y.∂y/∂v)=
∂z/∂x(∂x/∂u-∂x/∂v)+∂z/∂y(∂y/∂u-∂y/∂v).
x=eᵘ+e⁻ᵛ, y=e⁻ᵘ-eᵛ,
∂x/∂u=eᵘ, ∂x/∂v=-e⁻ᵛ, ∂y/∂u=-e⁻ᵘ, ∂y/∂v=-eᵛ.
∂z/∂u-∂z/∂v=∂z/∂x(eᵘ+e⁻ᵛ)+∂z/∂y(-e⁻ᵘ+eᵛ)=x∂z/∂x-y∂z/∂y.